Teoremi Analisi II
definizione di spazio vettoriale
1.
Rappresentazioni piano in R**3
1.
definizone spazio prehilberiano
1.
proprietà prodotto scalare
1.
Proprietà norma
1.
proprietà distanza
1.
equivalente della subadditività
1.
disuguaglianza cauchy-Schwarz + conseguenza
1.
esempio norma non indotta da prodotto scalare
1.
norme p_esime: definizioni e 2+2 proprietà
1.
equivalenza tra norme
1.
disuguaglianza di Holder + caso particolare
1.
esempio distanza non indotta da una norma
1.
definizone di palla aperta e chiusa ai sensi di una distanza
1.
proprietà di palle aperte o chiuse in uno spazio metrico con distanza con certa caratteristica...
indotta da una norma, convesse
definizione convessità
1.
limitatezza di un sottoinsieme di uno spazio metrico
1.
condizione sufficiente per illimatetezza di un sottoinsieme di uno spazio metrico
1.
definizione punto interno, di bordo e esterno
1.
def aperto euclideo
1.
unici spazi sia chiusi che aperti
1.
def intorno
1.
siano E ed F due sottoinsiemi di R**n quale è la relazione che lega le loro parti interne?
1.
def spazio topologico + topologia
1.
esempio di topologia non indotta da metrica
1.
def topologia indotta da una distanza
1.
spazio topologico di Hansdorff
1.
classificazione coniche in base al determinante, costruzione della matrice dei coefficienti
excursus coniche
definizione grafico di una funzione da R^n in R
3.
definzione del c-esimo livello di f
3.
partizione del dominio di f secondo i suoi livelli
3.
definizione di curva parametrica
3.
definizione supporto di una curva
3.
definizione simbolica e a parole di curva piana
3.
definizione curva chiusa + esempio
3.
definizione curva semplice + esempio
3.
Forma analitica polare e cartesiana della lemniscata di Bernoulli
3.
definizione generale di curve in forma polare ed esempi
3.
curva cilindrica, forma analitica e definizioni interne
3.
definizione curve equivalenti + nota formale
3.
Proposizione (relazione riparametrizzazione curve e loro supporto)
3.
Proposizione(curve semplici non chiuse e tali da avere lo stesso supporto -->)
3.
definizione omeomorfismo
6.
definizione diffeomorfismo
6.
definizione curva di classe C^1 e a tratti
3.
regolarità di una curva più caratterizzazione con versore tangente
3.
definizione lunghezza e rettificabilità di una curva
3.
Teorema fondamentale sulla rettificabilità
3.
Proposizione (relazione tra riparametrizzazzione di una curva e loro lunghezza)
3.
Riparamatrizzazione con ascissa curvilinea, definizione + conseguenze (4)
3.
Proposizione(rettificabilità di unioni di curve contigue) + conseguenza importante
3.
definizione di integrali curvilinei di prima specie
3.
proposizione(disuguaglianza integrale di una funzione vettoriale)
3.
definizione di cambio di coordinate affine
4.
coordinate polari + inversa
4.
coordinate sferiche (dominio)
x=pcos(theta)sin(phi)
y=psin(theta)sin(phi)
z=pcos(omega)
phi da 0 a 2*pi
theta da 0 a pi
p maggiore stretto di zero
coordinate cilindriche
x=pcos(theta)
y=psin(theta)
z=z
z in R
p maggiore stretto di zero
theta da zero a 2*pi (esclusi entrambi)
coordinate ellittiche + inversa + nota su un cambio di coordinate che si csotruisce geometricamente da questo
4.
coordinate paraboliche + inversa
4.
definizione simbolica di punto di frontiera o di bordo + relazione generale
5.
leggi di de morgan
5.
proposizione(caratterizzazione parte interna)
5.
definizione aderenza + inclusione sempre vera e perché
5.
proposizione(caratterizzazione chiusi)
5.
relazione tra E, parte interna di E, bordo di E e aderenza di E
5.
def punto di accumulazione + nota
5.
def. punto isolato
5.
proposizione(punti di accumulazione e isolati)
5.
caratterizzazione chiusi con punti di accumulazione
5.
definizione insieme discreto + controesempio contrario
5.
caratterizzazione punti di chiusura, di accumulazione e aderenza in termini di successioni
5.
definizione geenrale di compattezza
5.
definizione compattezza per successioni, quando vale
5.
compattezza-->chiusura e limitatezzza + controesempi <--
5.
teorema di heine borel
5.
due formulazioni del teorema di bolzano weistrass e dimostrazione dell'equivalenza
5.
definizione di topologia indotta
5. (sulla connessione)
definizione di connessione
5.
definizione di connessione per archi o poligonali
5.
proposizione (cpa --> connesso) + lemma + fatto
5.
definizione di stellato + note
5.
controesempio a cpa --> connesso
5.
connessi in Rn
5.
Proposizione(immagini di connessi)
5.
definizioni di domini in topologia
5.
definizione successione convergente (due modi) + nota
6. + è limitata
caratterizzazione convergenza di una successione
6.
definizione limite superiore e inferiore
6*
proprietà limite inferiore e superiore (5)
6* - fondamentale la 4) con la caraterizzazione del limite per n che va a +infty
definizione di sottosuccessione
6*
proprietà sottosuccesioni (3+1)
6*
definizione di sottosuccesione di Cauchy
6*
Teorema (criterio di convergenza di Cauchy) + nota sulla contronominale
6* + basta trovare due sottosuccesioni non di Cauchy in uno spazio metrico qualunque per dire che non esiste il limite
Definizione spazio completo e di Banach
6*
definizione limite finito per funzioni scalari e vettoriali
6
Teorema unicità limite
6
teorema algebra dei limiti
6.
teorema composizione di limiti
6.
teorema ponte
6.
proposizione limite delle restrizioni
6.
def limiti all'infinito
6.
continuità + elenco funzioni continue
6.
continuità separata + nota
6.
principali teoremi di funzioni continue (4)
limitatezza locale, estensione algebra dei limiti, permanenza del segno + corollario (controesempio all'uguaglianza), confronto
tipi di discontinuità + relazione estensione di continuità
6.
caratterizzazione continuità con chiusi e aperti + conseguenza
6.
teorema di weistrass
6.
generalizzazioni weistrass
6.
uniforme continuità + teorema di heine-Cantor
6.
teorema (continuità funzione inversa)
6.
derivata direzionale + interpretazioni
7.
derivata direzionale della norma di f(x)=||x||
7.
controesempio (esistenza derivata direzionale implica continuità)
7.
definizione derivate parziali + notazione
7.
definizione gradiente + regole di calcolo
7.
definizione differenziabilità
7.
teorema (proprietà differenziabilità)
7.
regola di leibniz per differenziale
7.
proposizione (differenziale nullo in un connesso) + esempi
7.
teorema del differenziale totale
7.
interpretazione geometrica della differenziabilità
7.
proposizione( gradiente indica la massima pendenza )
7.
proposizione (gradiente ortogonale alle linee di livello)
7.
proposizione (chain-rule)
7.
chain-rule in forma matriciale
7.
proposizione (inversione locale + jacobiana inversa)
7.
derivate parziali seconde + notazioni
7.
teorema di schwarz
7.
definizione laplaciano
7.
teorema esistenza degli zeri
9.
funzione armonica + semplicificazione equazione DPE per grafici rotazionalmente simmetrici
7.
differenziabilità funzioni a valori vettoriali
7*
relazione jacobiana e funzione lineare vettoriale
7*
campi vettoriali + esempio
7*
superfici parametriche + 3 esempi
7*
lemma su diffeomorfismi
7*
Gradiente in coordinate polari formula (e a grandi come ci si arriva)
7*
Gradiente in coordinate sferiche (a parole come ci si arriva)
7*
Definizione di divergenza
7*
Regola di Leibniz per la divergenza
7*
Funzione solenoidale + esempio
7*
Divergenza in coordinate polari
7*
relazione tra laplaciano e divergenza
7*
Laplaciano in coordinate polari
7*
Laplaciano in coordinate sferiche
7*
differenziabilità seconda
7.
proposizione (equivalenza alla differenziabilità seconda)
7.
regolarità superfici
7*
formula dell'Hessiana
7
teorema di taylor con resto peano
7.
teorema taylor con resto Lagrange
7.
definizione massimo e minimo assoluto
8.
proposizione(condizione necessaria del primo ordine)
8.
definizione punto di sella
8.
casistica per i problemi di ottimizzazione
8.
teorema(caratterizzazione delle forme quadratiche definite)
8.
proposizione (criterio di Sylvester + nota)
8.
proposizione (caratterizzazione forme quadratiche semidefinite)
8.
proposizione (condizioni sufficienti del secondo ordine)
8.
proposizione(condizioni necessarie del secondo ordine)
8.
implicazione se l'Hessiana è semidefinita
8.
teorema dei moltipllicatori di Lagrange caso con più vincoli
8.
teorema dei moltiplicatori di lagrange caso con un vincolo
8.