Teoremi Analisi III
dominio x-normale
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relazione tra domini x-normali e y-normali
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misura di un dominio normale
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lemma su partizione di un insieme in domini normali
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additività finita della misura di un dominio normale
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somme integrale e proprietà fondamentale
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somma integrale generata da due partizioni + lemma
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definizione f integrabile su D dominio normale + perchè vale più rigorosamente
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continuità --> integrabilità
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formula di riduzione di un integrale doppio
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generalizzazione f integrabile su un insieme con certe hp
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dominio regolare
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formula cambio variabili integrali doppi + spiegazione euristica fattore di scala
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semplificazioni integrali doppi in particolari simmetrie
usando cambio di variabili
generalizzazione formula di cambio variabili
1
superfici parametriche regolari
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spiegazione fattore scala in superfici parametriche
3
riscrittura fattore scala locale sup parametriche
3
invarianza area sup regolare per cambio di parametro ammissibile
3
formula per area sup regolare del tipo grafico
3
teorema pappo-gauldino sup regolari
1
dominio xy-normale
1
misura di un dominio normale in 3d
1
integrabilità tripla e proposizione su funzioni che lo sono
1, vale sempre che la somma integrale inferiore sta a sinistra della somma integrale superiore, per ogni partizione, ma per di più per le funzioni integrabili questi insiemi sono CONTIGUI e in particolare il congiungimento, cioè il valore sup somma inferiore = inf somma superiore, si dice integrale triplo
formula di riduzioni per integrali tripli e significato
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teorema di pappo-gauldino del volume di un solido di rotazione
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Teorema della divergenza + semplici 3 semplici conseguenze
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Formula di integrazione per parti, per un generale campo vetttoriale F moltiplicato per uno scalare f
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definizione di spazio tangente a R^n in P. In che ambiente ha più senso questa definizione?
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definizione spazio cotangente a R^n in un punto P
4
campo di vettori C^k + esempio
4 + esempio semplice è l'immagine di un campo vettoriale
campo di covettori C^k + esempio
4 + differenziale di una funzione scalare
i differenziali si funzioni scalari sono tutti 1-forme C^1 sul loro dominio aperto. controesempio all'implicazione inversa
4 non deve soddisfare Schwartz
proposizione sull'algebra delle 1-forme (3)
(i) somma/differenza/moltiplicazione per scalare sono normali
(ii) moltiplicazione tra 1-forme è associativa, distributiva e ANTICOMMUTATIVA
(iii) quadrato si una 1-forma è nullo
corrispondenza tra 1-forme e campi di vettori + esempio semplice
4 + con prodotto scalare euclideo
1-forma esatta + nomenclatura
4, F conservativo e f potenziale
proprietà dei potenziali
4, se sono definiti su un'aperto connesso allora differiscono per una costante
1-forma chiusa + corrispondenza con campo di vettori associato
4
Lemma su chiusura e esattezza di un campo di covettori + controesempio all'implicazione inversa
4
integrale di seconda specie + riscritture + secondo nome e perché si chiama così
4
proposizione sulla dipendenza dall'orientazione in un integrale curvilineo di seconda specie
4
integrale di seconda specie su una forma esatta
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caratterizzazione esattezza
4
integrale di forma chiusa su curve omotope
4
teorema di derivazione sotto il segno di integrale
4
Lemma di poincarré
4
orientazione positiva del bordo di D
4
Formule di Gauss Green
4
Teorema di Stockes nel caso planare
4
omotopia che fissa gli estremi e omotopia per circuiti
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semplice connessione
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stellato --> semplicemente connesso + controesempio
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esempi di insieme semplicemente connessi e non
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formule per l'area di un dominio regolare
4 - da Gauss-Green
superficie parametrica orientabile + esempi
4, superficie parametriche regolari con bordo (grafici di funzioni C^1), cilindro, sfera, non lo è invece il nastro di Mobius
Superfici parametriche regolari con bordo
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Teorema di Stockes in dimensione 2 per superficie non planare
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definizione convergenza puntuale di una successione di funzioni
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esempi della povertà del concetto di convergenza puntuale
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definizione convergenza uniforme (analitica e grafica)
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cvg uniforme --> cvg puntuale + controesempio dell'implicazione inversa
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proprietà notevoli della convergenza uniforme
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lemma di fatou
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teorema della convergenza dominata
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somma di una serie di funzioni
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successione di somme parziali di funzioni
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convergenza puntuale di una serie
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convergenza uniforme di una serie
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lemma condizione necessaria alla convergneza uniforme di una serie
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proprietà notevoli della convergenza uniforme di una serie
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criterio di cauchy per le serie
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criterio di cauchy uniforme per le serie
6
serie di funzioni assolutamente convergente
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serie di funzioni totalmente convergente
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confronto tra norme di funzioni continue su un compatto
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teorema criterio della convergenza totale
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serie armonica generalizzata + teorema di eulero
A1 8
serie geometrica
A1 8
serie telescopica di mengoli
A1 8
serie di taylor notevoli
A1 7
serie di potenze
A1 8
criterio radice n-esima
A1 8
criterio rapporto
A1 8
criterio confronto
A1 8
criterio di Leibniz
A1 8
equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
A1 10
formula risolutiva dell'edo del 1 ordine a coefficienti funzinoi costanti
A1 10
risoluzione edo del 2 ordine a coefficienti funzioni costanti con metodo di variazione delle costanti
A1 10
risoluzione edo del 2 ordine a coefficienti funzioni costanti con metodo di similarità
A1 10
problema di Cauchy forma normale
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problema di Cauchy forma integrale
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punto fisso dell'operatore di volterra
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proposizione sulla formulazione integrale del PC
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lipschitzianità + esempio
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locale lipschitzianità + esempio
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lipschitzianità in u uniformemente in t + esempio
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locale lipschitzianità in u uniformemente in t + esempio
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proprietà vari tipi di lipschitzianità (3)
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se è localmente lipschitziana in u uniformemente in t è continua a t fissato (implica altro caso)
se è localmente lipschitziana in u uniformemente in t e continua in un compatto allora è lipschitziana in u uniformemente in t (implica altro caso)
se è C^1 in un aperto allora è localmente lipschitziana in u uniformemente in t
contrazione + esempio banale + collegamento con funzioni lipschitziane
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lemma delle contrazioni (di Banach-Cacciopoli)
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